Huit leçons sur l’incomplétude : logique & mécanique quantique

G. Longo, T. Paul

CNRS - DI et DMA, ENS, Paris

Mars 2009: mardi et mercredi,

3 et 4, 10 et 11, 17 et 18, 24 et 25

de 17h 30 à 19h 30, salle U/V,

sous-sol, étage – 2, Dépt. de Mathématiques

Ecole Normale Supérieure, 45, Rue d’Ulm, Paris

Le concept d’incomplétude apparaît dans l’article fondamental de Gödel (logique), ainsi que dans celui, célèbre, d’Einstein, Podolsky et Rosen (physique quantique). Dans ce mini-cours, ouvert à tous, est proposé de présenter les idées mathématiques au coeur de ces deux incidences de l’incomplétude ainsi que certaines de ses résonnances contemporaines.

1. [Longo & Paul] Maths, physique et philosophie, une introduction :
   - de Laplace à Gödel et de Poincaré à Turing ;
   - EPR et de Poincaré à Born-Heisemberg ;



2. [Longo] : Gödel - Déduction formelle et indécidabilité :
   - codage et représentation : premier théorème d’incomplétude ;
   - codage et cohérence : deuxième théorème d’incomplétude ;
   - le sens et la preuve ; des “philosophies” contre Hilbert : Weyl et Wittgenstein ;



3. [Paul] : Einstein - Mécanique quantique et complétude :
   - formalisme quantique et décidabilité, intrication et EPR ;
   - inégalités de Bell, les expériences d’Aspect ;
   - levée du “paradoxe”, pas de transmission d’information, complétude, accessibilité ;



4. [Longo] : L’incomplétude, aujourd’hui - L’incomplétude mathématique des systèmes formels :
   - typage et cohérence : théorèmes de normalisation à la Girard ;
   - forme finie de Friedman du théorème de Kruskal ;
   - analyse des passages non-formalisables ; le sens vs l’ordre ou les ordinaux ;



5. [Paul] : L’intrication aujourd’hui - L’intrication recherchée dans l’expérience :
   - d’un moindre mal à un meilleur bien, téléportation, mesure de l’intrication ;
   - intrication, décohérence et le sujet ;
   - les algorithmes quantiques : puissance vs déterminisme ;



6. [Longo] : Incomplétude et structures de la détermination :
   - imprédictibilité dynamique et indécidabilité logique : Poincaré vs Gödel à la limite asymptotyque ;



7. [Paul] : Incomplétude et structures de la détermination :
   - imprédictibilité dynamique et indéterminisme quantique : Poincaré vs Born à la limite asymptotyque ; la notion de “quantité observable” et la question de la “complétude” du formalisme de la physique quantique ;



8. [Longo] : l’incomplétude mathématique des théories physiques en sciences du vivant :
   - l’apport méthodologique de la physique quantique : les dualités théoriques entre physique et biologie ;
   - quelques extension théoriques : la criticité étendue et l’anti-entropie.

Notes de Cours
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