A partir de l’incomplétude : indécidabilité logique et aléatoire physique

Six cours brefs, ouvert à tous
CNRS et DI, ENS, 45 rue d’Ulm, Paris

Mardi et jeudi

9 et 11, 16 et 18, 23 et 25 mars 2010, 17h – 19h
http://www.di.ens.fr/users/longo/Enseignement/CoursLongoPaul.htm

Présentation :

Poincaré présente son grand théorème de 1890 sur l’imprédictibilité de certaines dynamiques physiques comme “résultat négatif” ; il constitue en fait un passage important pour la compréhension de l’aléatoire classique. Un autre grand “non”, l’incomplétude de tout formalisme suffisamment expressif, est au coeur de l’article de Gödel de 1931 ; la notion d’incomplétude sera utilisé aussi dans un célèbre article d’Einstein, Podolsky et Rosen de 1935 (EPR), au sujet de la Mécanique Quantique. L’aléatoire mathématique (asymptotyque) nous permettra de corréler ces cadres très différents et de poser le problème de l’aléatoire en biologie.

Dans ce mini-cours, ouvert à tous, on se propose de présenter une réflexion philosophique et certains aspects mathématiques de ces incidences de l’incomplétude logique et de l’imprédictibilité physique, comme forme de l’aléatoire, ainsi que quelques résonances contemporaines. Quand au caractère du cours, au-delà de la première séance, totalement informelle, les autres leçons essayeront d’introduire les notations mathématiques utilisées et également d’expliciter les cadres conceptuels et l’impact philosophique des résultats techniques présentés (voir Introduction : L'incomplétude).

Programme :

1. Mathématiques, physique et philosophie, une introduction :
   
   Savoir positif et savoir critique ou l’importance des résultats négatifs : du Théorème des Trois Corps de Poincaré à l’incomplétude de Gödel. L’aléatoire et la physique quantique : la question de la mesure. L’alphabet et la détermination : le mythe de la complétude des analyses moléculaires en biologie.



2. Gödel - Déduction formelle et indécidabilité :


• codage et représentation : premier théorème d’incomplétude ;


• codage et cohérence : deuxième théorème d’incomplétude ;


• le sens et la preuve ; des “philosophies” contre Hilbert : Poincaré, Weyl et Wittgenstein.


3. Poincaré - l’aléatoire comme imprédictibilité dynamique :


• L’aléatoire classique entre détermination et mesure. L’aléatoire à la Birkhoff ;


• L’aléatoire algorithmique, comme forme de l’indécidabilité gödelienne: Poincaré vs. Gödel à la limite asymptotyque.


4. L’incomplétude en logique, aujourd’hui : l’incomplétude mathématique des formalismes :


• La forme finie de Friedman du théorème de Kruskal ; le sens et l’ordre, la cognition vs. les ordinaux ;


• Les théorèmes de normalisation en Théorie des Types et la cohérence de l’analyse.


5. Einstein - Mécanique quantique et incomplétude :


• la structure logique et la structure de l’espace dans l’analyse de EPR ;


• La MQ, est-elle complète ? Le rôle de l’aléatoire et de la mesure, au delà de EPR ;


• Synthèse : les différentes formes physiques et algorithmiques de l’aléatoire.


6. Entre physique et biologie :


• L’état vivant de la matière : l’apport méthodologique de la physique quantique et les dualités théoriques entre physique et biologie. La question de l’aléatoire en biologie ;


• Quelques extensions théoriques : la criticité étendue et l’anti-entropie. La marche aléatoire de la “complexification” des organismes au cours de l’évolution des espèces.

(Cette séance pourra être suivi par deux autres, si suffisamment d’élèves et d’étudiants sont intéressés à ces thèmes)

Salles :

Mardi et jeudi 9 et 11, 16 et 18, 23 et 25 mars 2010, 17h – 19h
(les mardis 9, 16, 23 : Salle H. Cartan, étage -2, Maths-Info ; les jeudis 11, 18 et 25 : Salle W, étage 4, escalier B, Maths-Info)

Compléments :

• Notes de Cours ;
• Sujets de thèse ou mémoires.